Investigación de Operaciones: Teoría de Cola

INTRODUCCIÓN

Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en una cola,en el transmetro,en la barriga de la madre ,en el pago de los recibos,etc.Por tal motivo se estudiaran ciertos modelos matemáticos para las lineas de espera , lo cual surgen preguntas que pueden ser contestadas por los modelos que se van a plantear,las preguntas son:

1 ¿Cuánto tiempo está ocioso cada servidor?

2 ¿Cuál es el número esperado de clientes presentes en la cola?

3 ¿Cuál es el tiempo previsto que un cliente debe pasar en la cola?

4 ¿Cuál es la probabilidad de clientes presentes en la cola?

5 ¿Cuál es la probabilidad del tiempo de espera de un cliente?.

De acuerdo a estas preguntas podemos determinar que no solo se juega con un factor de riesgo si es cierto o incierto si no que como podemos determinar que en mi sistema no exista cola en el sistema por que en este capitulo podemos determinar como y cuando va existir cola en mi sistema y que puedo hacer yo para contrarrestar ese fenómeno continuación

TEORÍA:

Se define como el conjunto de principios que hace que opere o funcione.

Hay tres grande elementos o sistema que son :

Población (ENTIDADES)
Cola(PROCESO DE ESPERA)
Servidores(PROCESO DE SERVICIO)

Por medio de esto se determina el proceso de llegada que se da por :

Tiempo entre llegada.(Lapso de tiempo/Llegada)
Tasa(Numero de Entidades/Tiempo)= landa

Lo cual requiere un promedio espera que se da por :

Lapso de tiempo/servicio prestado.
Tasa de servicio(Numero de servidores/tiempo)=miu

CONDICIÓN:

MÍNIMO TIENE QUE A VER UNA PERSONA EN ESPERA,PARA QUE HALLA COLA,EL NUMERO DE ENTIDADES ES DIFERENTE ALA CANTIDAD PARA HACER ATENDIDOS POR EL SERVIDOR , ES DECIR QUE SON INVERSAMENTE PROPORCIONAL PARA QUE SE CUMPLA ESTA CONDICIÓN.

E>S ( COLA)
E=S (NO HAY COLA )
E<S(NO HAY COLA)

Donde :

E= Entidades.

S=Servidores.

PROCESO DE ENTRADA O LLEGADA

El proceso de entrada se denomina, por lo regular, proceso de llegada. Las llegadas se llaman clientes. En todos los modelos que se estudian, se supone que no más de una llegada ocurre en un instante dado.

Existen dos situaciones comunes en las cuales el proceso de llegadas podría depender de la cantidad de clientes presentes. La primera se presenta cuando las llegadas se extraen de una pequeña población,los modelos en los cuales las llegadas se toman de una pequeña población reciben nombre de modelos de origen finito.

PROCESO DE SALIDA O DE SERVICIO

Para poder definir el proceso de salida de un sistema de linea de espera o un sistema de colas , se especifica una distribución de probabilidad , llamada distribución del tiempo de servicio, la cual rige el tiempo de servicio de un cliente, lo cual se supone que la distribución de l tiempo de servicio es independiente de la cantidad de clientes presentes, de aquí se infiere que el servidor o canal , no trabajara mas rápido cuando hay mas clientes presentes.

en lo cual se encuentran dos tipos de servidores : servidores en paralelo y servidores en serie. los servidores están en paralelo si todos ofrecen el mismo tipo de servicio y un cliente solo requiere pasar por un servidor o canal para completar su servicio por ejemplo : los cajeros de bancos, los servidores están en serie cuando un cliente debe pasar por varios servidores antes de terminar el servicio por ejemplo: una linea de ensamble.

DISCIPLINA DE LAS LINEAS DE ESPERA.

Explica el método usando para determinar el orden con cual se atienden los clientes. la disciplina mas común es la disciplina FCFS(frist come,frist served, es decir , al primero que llega es al primero que se le atiende),en la cual se atiende a los clientes según el orden en que llegan, en la disciplina LCFC(last come,frist served,el ultimo en llegar es el primero en salir),las llegadas mas recientes son los primeros en entrar al servicio ejemplo de este caso el elevador, disciplina SIRO(service in random order, servicio en orden aleatorio),cuando una persona que llama a una areolinia se le hace esperar, la suerte determina con frecuencia quien sera el siguiente persona en ser atendida por un operador, y por ultimo las disciplina de la prioridad en las colas , una disciplina de prioridad clasifica cada llegada en una categoría por ejemplo las salas de urgencia de un hospital.

SISTEMAS DE COLAS BÁSICO

SISTEMA DE COLAS DE UN SOLO CANAL CON UN SOLO SERVIDOR

SISTEMA DE COLAS DE UN SOLO CANAL CON MÚLTIPLES SERVIDORES

SISTEMA DE COLAS CON MÚLTIPLES CANALES CON MÚLTIPLES SERVIDORES

SISTEMA DE COLAS MULTIFACETICO

CLASIFICACIÓN DE KENDALL Y LEE

En 1953 Kendall y Lee propusieron un sistema de clasificación de los sistemas de líneas de espera, ampliamente utilizado en la actualidad. Esta clasificación considera seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos de líneas de espera, expresándolas en el formato (a / b I c) (d I e I f), donde:

a distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones.

b distribución de probabilidad del tiempo de servicio.

Los símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:

D: constante.

Ek: distribución Erlang con parámetro k.

G: cualquier tipo de distribución.

GI: distribución general independiente.

H: distribución hiperexponencial.

M : distribución exponencial. C número de servidores D orden de atención a los clientes.

Los símbolos utilizados en este campo son:

FCFS: primeras entradas, primeros servicios.

LCFS: últimas entradas, primeros servicios

SIRÓ: orden aleatorio.

PR: con base en prioridades.

GD: en forma general.

E : número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo.

/ número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera.

Por ejemplo, un modelo (M/D/3) (FCFS/20/20) representa la clasificación de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas, primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los servidores ocupados, pasan a formarse en una fila común. En otro caso, un modelo (M/M/l)(LCFS/oo/oo) es la clasificación de una línea de espera donde hay 1 servidor atendiendo de acuerdo con un orden de últimas entradas, primeras salidas, con tiempo de servicio exponencial. El sistema da servicio a un número infinito de clientes potenciales, mismos que al llegar serán aceptados por el sistema. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y en caso de llegar y encontrar al servidor ocupado, pasan a formarse en una fila común.

CAPACIDAD DEL SISTEMA

En algunos sistemas existe una limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en la cola. A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas. Esta limitación puede ser considerada como una simplificación en la modelización de la impaciencia de los clientes.

¿COMO DETERMINAR SI MI SISTEMA TIENE RENDIMIENTO?

La tarea de un analista de colas puede ser de dos tipos:

a) establecer mecanismos para medir la efectividad del sistema.

b) diseñar un sistema “óptimo” (de acuerdo a algún criterio).

Diseñar eficientemente consiste, básicamente, en definir un sistema cuyo coste (de diseño y de operación) se justifique por el servicio que da. Dicho servicio se puede evaluar mediante el coste de “no darlo”. De este modo al diseñar se pretende minimizar unos supuestos costes totales .A partir de los datos que nos suministra la teoría de colas se puede obtener la información necesaria para definir el número de asientos necesarios en una sala de espera, o la estructura de etapas de un proceso de atención al cliente.

En cualquier caso, para poder tomar decisiones hacen falta datos que la teoría de colas puede dar en alguno de los siguientes tres aspectos:

a) tiempo de espera (en el total del sistema o en la cola)

b) cantidad de clientes esperando (en el sistema o en las colas)

c) tiempo ocioso de los servidores (total o particular de cada servicio)

TERMINOLOGÍA

λ:Número de llegadas por unidad de tiempo

µ:Número de servicios por unidad de tiempo si el servidor está ocupado

K : Número de servidores en paralelo

N(t): Número de clientes en el sistema en el instante t

Nq(t): Número de clientes en la cola en el instante t

Ns(t): Número de clientes en servicio en el instante t

Pn(t): Probabilidad que haya n clientes en el sistema en el instante t=Pr{N(t)=n}

N: Número de clientes en el sistema en el estado estable

Pn : Probabilidad de que haya n clientes en estado estable Pn=Pr{N=n}

L : Número medio de clientes en el sistema

Lq : Número medio de clientes en la cola

Tq : Representa el tiempo que un cliente invierte en la cola

S : Representa el tiempo de servicio

T =Tq+S: Representa el tiempo total que un cliente invierte en el sistema

Wq=[Tq]: Tiempo medio de espera de los clientes en la cola

W=[T]: Tiempo medio de estancia de los clientes en el sistema

r: número medio de clientes que se atienden por término medio

Pb: probabilidad de que cualquier servidor esté ocupado

NOTA: cuando λ es constante para toda n , cuando la tasa medida de servicio por servidor ocupado es constante para toda n >=1, esta constante se denota por muí.en estas circunstancias ; los tiempos entre llegadas esperadas y los tiempos de servicio esperados que conforman el factor de utilizaron para la instalación de servicio;es decir;la fracción de tiempo que los servidores individua les están ocupados entre la fracción de capacidad de servicio de sistema que utilizan en promedio los clientes que llegan al sistema.

EL SISTEMA M/M/1

Una cola M/M/1 tiene un único servidor y las tasas de llegada y de servicio siguen una

Distribución de Poisson, siendo por tanto:

La tasa de llegada es a(t)=λe-λt

La tasa de salida es a(t)=µe.µt

La condición de aplicabilidad de las formulas que siguen es:

µ>λ.

FORMULAS

Factor de utilización La probabilidad de que haya n clientes

Número promedio Número promedio de unidades en el sistema

de unidades en la línea de espera

Tiempo promedio que utiliza la unidad Tiempo promedio que una unidad

en la línea de espera ocupa en el sistema

Probabilidad de que una unidad Probabilidad de que el sistema este N unidades

que llega tiene que esperar servicio

EL SISTEMA (M/M/2)

Suposiciones

La línea de espera tiene 2 ó más canales (instalaciones de servicio)
El patrón de llegada es de distribución de poisson.
El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución exponencial
La tasa promedio de servicio µ ,es la misma para todos los canales.
Las unidades que llegan aguardan en una sola línea de espera y después pasan al primer canal libre para obtener servicio.
La disciplina del servicio es FCFS(frist come,frist served, es decir , al primero que llega es al primero que se le atiende).